[H23] 悖論和難題

思方網 : [H23] 悖論和難題

悖論是指某些奇特的推論。這些推論的假設和邏輯看似合理,但卻帶出明顯地不可接受的結論。要正確處理這些悖論,便要指出它們的問題。這裡我們列出一些著名的悖論和邏輯問題,讓大家動動腦筋。

亞基里斯和烏龜

一日亞基里斯和烏龜來一次賽跑,因為亞基里斯認為自己比烏龜快,所以他讓烏龜少跑一段距離。他們的協議是亞基里斯會在某地點d 1開始起跑,而烏龜則會以較接近終點的地方d 2為起點。但試想想,當亞基里斯跑到d 2的時候,烏龜會跑到了另一地方d 3。亞基里斯追到d 3的時候,烏龜卻已到了d 4。如此類推,每次亞基里斯跑到烏龜之前到過的地方,烏龜卻已再向前跑了一段距離。這樣看來,亞基里斯怎能追到烏龜呢?

沙丘悖論

沙粒堆在一起,聚少成多,堆成沙丘。例如十萬粒沙堆在一起就成了沙丘。沙丘這樣大,若隨便拿走一粒沙,沙丘仍會存在,因為一粒沙實在微不足道。同樣,從九萬九千九百九十九粒沙組成的沙丘再拿走一粒沙,沙丘也不會因此消失。總而言之,從一個沙丘拿走一粒沙,沙丘會繼續存在。但若真的如此,連續把沙粒一粒一粒拿走,直至剩下最後一粒沙,沙丘也繼續存在。但一粒沙怎可以構成一個沙丘呢?

不自稱的悖論

如果一個謂詞不能應用於它自己身上,我們稱之為「不自稱」的。反之,我們則稱為「自稱」。例如,「由中文字所組成的」這個謂詞便正是由中文字所組成,所以是個自稱的謂詞。「是個紅色的水果」只可以形容水果,不可以形容自己,所以不自稱。

那麼「是不自稱的」本身是不是不自稱的?如果是,它不應用於自己身上,即是說它應用於自己身上。但如果不是,它應用於自己身上,亦即是說它不應用於自己身上。換言之,如果它應用於自己身上,它就不應用於自己身上了!

律師和徒弟

學生甲是某大律師的徒弟。當他還在受訓的時候,他答應老師,說會在他完成訓練、打勝了第一場官司後繳交學費。但畢業後學生甲卻一直不接手任何官司,於是老師便決定控告他拖欠學費。

老師的論據是,如果老師自己打勝了這場官司,學生甲必要立即繳交學費;如果是學生甲打勝,甲便應該按照原本的協議繳交學費。所以無論如何學生都應交學費。

但甲的論據是,如果法庭判他勝利,他便不需繳交學費;如果是老師勝利,他自己便從來沒有打勝過,所以根據協議他也不需繳交學費。

到底誰的論據有道理?

說謊的人

有人這樣說:「我現在所講這句話是假的。」

那麼,這個人所講的到底是真或是假的呢?若他所說的是真,則他便是在講假話,亦即他所說的是假的了。但若他所說的是假,那麼他說自己在講假話,豈非正確?但一句說話又怎可能是既真又假的呢?也許有些人會認為他那句話既不真也不假,但如果他所講的其實是不真不假,而他卻說自己在講假話,那麼他不真的是在講假話嗎?

紐康姆悖論

試想想,在你面前有兩個盒子,一個是透明的,有一萬元在裡頭,另一個是不透光的,可能有一百萬元在裡頭,也可能沒有任何金錢。你有兩個選擇:你可以拿走不透明的盒子,又或兩個盒子都拿走,而你拿的盒子裡的所有鈔票都是你的。

不過,有一個非常準確(接近100%準確)的預言家會在場預測你的選擇。在你作出決定之前,他會先預測你的選擇。如果他算出你會只拿走不透明盒子,他便會放一百萬元進這個盒子。若他認為你會拿走兩個盒子的話,他便會給你一個空的不透明盒子。

現在,他已作出了他的預測,安排了適當的盒子。從你的角度來看,不透明的盒子內有沒有鈔票,已成定局。拿走兩個盒子,照道理會比拿一個得到多一萬元。但絕大部份決定拿走兩個盒子的人,卻只得一萬元,而非一百零一萬元。你認為應如何理性地選擇?

囚犯的兩難

假設你和我犯了法,一起被收在監裡,根據我們的律師:
  • 如果我們一個人認罪一個人不認罪,認罪的那個便會獲得釋放,不認罪的就會被判監十年。
  • 如果我們都認罪,每人都會囚七年。
  • 如果我們都不認罪,就只會被判一年監。
假設我們兩人都十分精明,亦覺得徒刑越短越好。現在,我和你被分開,無法溝通,各自要決定是否認罪。

我不知道你是否會認罪。不過若你認罪,我也應該認罪,因為這樣便只會判監七年而非十年。如果你不認罪,我更應認罪,因為這樣我便會獲得釋放。所以無論如何我都應該認罪。

但若你也這樣推論,最後決定認罪,我們便要被判囚七年了。這比起兩人都不認罪,判一年監,實在差得多了。何以理性的推論,引至這樣的後果呢?

羅素悖論

我們慣常將東西、人物分入不同集合。例如2、16等便是雙數集合的一份子。但大多數的集合本身並不是該集合的份子。雙數集合內含2、16等數目,但集合本身並非一個雙數,所以它不是自己的份子,正如幾個國家所組成的聯盟本身並不是一個國家一樣。但「不是動物」所指的集合卻是自己的一份子,因為集合包含鉛筆、樹等東西,那它自己自然不是動物。

好了,那麼「不是自己份子」所指的集合,是否自己的份子?

突如其來的測驗

突擊測驗究竟是否可能?有一個老師告訴她的學生,下星期會有突擊測驗。她的學生推斷,測驗的日期必不會是在星期五,因為如果到星期四測驗還沒有舉行的話,那麼所有學生都會知道測驗會在星期五發生,所以這個測驗也不能算是突擊測驗了。既然剔除了測驗在星期五舉行的可能性,以同樣的理由,突擊測驗也不可能在星期四發生。如此類推,突擊測驗根本不可能。但到了下星期一,老師卻真的來一個突擊測驗,所有學生都很驚訝,他們的推論那裡出了問題?

剪自己的頭髮理髮師

在某一個村莊有一個理髮師,他只會替不會給自己剪髮的人剪髮。那麼你說,他會不會剪自己的頭髮?

世上沒有全能的上帝

照道理,「全能」是指有能力做到任何可能做到的事情。那麼,一個全能的上帝能否造出一塊祂自己不能舉起的石頭?如果可以,那便有一件事是上帝做不到的了,就是舉起祂自己創造的那塊石頭。如果上帝造不到這樣的一塊石頭,那上帝也不是全能的了,因為造一塊自己舉不起的石頭,我們也可以做到。所以,世上沒有全能的上帝。