[H32] 語句邏輯 - 完構式

§1. 語句邏輯的語彙

任何語言也由兩大部分構成:基本語彙 (basic vocabulary) (或詞彙)與語法(或文法)規則 (grammatical rules)。比方說,英語就由許多許多(但有限多)的基本詞彙及一組(同樣是有限多)的文法規則構成。我們可把基本語彙視作語言的基石,語法規則則教導我們如何從這些基石建構出較複雜的表達式(例如詞組與句子)。可以很合理地相信,學懂某種語言必須理解及掌握一套為數不少的語彙及文法規則。

要學懂一種自然語言大多數人也得需時數年 (成績往往強差人意)。幸而形式語言的語彙及文法規則 (有時也稱「語句的形成規則」(formation rules))甚為簡單,只需一會便能完全掌握。現在讓我們看看最簡單的形式語言——語句邏輯的語言(簡稱「SL」)。

語句邏輯的語言的基本詞彙(簡稱「SL詞彙」)有三大類,分別為:

  1. 語句字母 (sentence letters):語句符號被用作翻譯語句。由大寫英文字母,A,B,C,等表示 (語句字母的數目並無上限。我們可在字母右方添加小寫數字 (A1,B27,Z111,等等)以增加其數目。)。
  2. 五個邏輯連詞 (logical connectives):
    • ~ (否定句號)
    • & (合取句號)
    • ∨ (分取句/析取句號)
    • → (條件句號)
    • ↔ (雙條件句號)
  3. 開括號及關括號 (open and closed brackets):(  )

§2. 構作完構式

現在讓我們將「語句邏輯的表達式」(簡稱「SL 表達式」)界定為任何由一個或以上的SL詞彙構成的符號串。因此,下面的符號串皆為 SL 表達式:

  • P
  • ((P∨Q)&R)
  • ((((PPR&→
  • ((P→Q)&(R→S))
  • P∨∨R)))))))))))))))→→V&QQ
  • (((P↔Q)∨((R→S)&(S→T)))

並非任何 SL 表達式都合乎文法。合乎文法的SL表達式稱作「(SL的)完構式」((SL)Well-Formed Formulas簡稱「WFF」)。完構式可根據以下的文法規則建構:

  1. 任何語句字母皆為完構式。
  2. 若 φ 為一完構式,則 ~φ 也為一完構式。
  3. 若 φ 與 ψ 皆為完構式,則(φ&ψ),(φ∨ψ),(φ→ψ),及 (φ↔ψ)為完構式。
  4. 只有經由規則1-3產生的表達式才為完構式。

規則1-4需略作解釋及補充:

  • SL語言包括兩類語句連詞:一元連詞 (one-place connectives)及二元連詞 (two-place connectives)。兩者的功用也是透過連接某(些)特定的WFF而它(們)轉換為新的並且較長的WFF。不同之處只在前者只連接單個WFF;後者則連接兩個WFF。
  • 不包含語句連詞的WFF稱作「簡單WFF」;包含語句連詞的WFF稱作「複合WFF」。
  • 我們從規則1得知任何語句變項也是完構式。
  • 當我們使用一種語言去談論另一種語言時,前一種語言稱作「後設語言」 (metalanguage),後一種語言稱作「對象語言」 (object language)。比方說,我們正用中文來討論SL語言,在此討論中,中文屬後設語言,SL語言則屬對象語言。留意一點,'φ' 與 'ψ' 用以提及或指涉 SL 表達式。故此,它們屬後設語言而非屬SL語言的語彙。規則2告訴我們在任何WFF的左方加上 '~',所得之符號串也是WFF。例如,由於 'P' 為一WFF (根據規則1),在 'P' 左方加上 ~ 後所得之符號串也是WFF。規則3告訴我們若我們有兩個WFF,那麼,若我們把 '&','∨','→',及 '↔' 置於這兩個 WFF中間,並在左右兩旁加上 '(' 及 ')',那所得之符號串也是WFF。例如,'P' 及 'Q' 均為WFF(根據規則1),"(P&Q)","(P∨Q)","(P→Q)",及 "(P↔Q)" 也為WFF。
  • 規則4說任何WFF必是根據規則1-3產生。換言之,若某SL表達式不是由規則1-3產生,那該表達式必不是WFF。

§3. 連詞之範圍

WFF中常出現多於一個連詞:

  1. (~P∨Q)
  2. (~(P∨Q)&~(~P→~Q))
  3. ((~P∨Q)∨R)

然而,必需緊記,任何一個WFF只能有一個主連詞 (main connectives)。其餘的連詞為次連詞 (secondary connective)。

我們可以控制範圍這概念去區分主連詞與次連詞。

任何出現在某一WFF的連詞也有其各自不同的控制範圍。假設 σ 為一出現在WFF φ 的連詞,σ 的控制範圍為 φ 中包含 σ 的最短WFF。例如,在1中,'~' 的控制範圍是 'P':在 "(~P∨Q)"中包含 '~' 的最短WFF是 "~P"。'∨' 的控制範圍是 "(~P∨Q)":"(~P∨Q)" 為包含 '∨' 的最短WFF。

一個「WFF 主連詞」 可被定義為在該WFF中控制範圍最廣的連詞。下面WFF的主連詞以深黑色顯示:

  • (~PQ)
  • (((P∨R)&S)T)
  • ~P111
  • ~(Q∨R)
  • (((P∨R)&S)T)
  • ((P→Q)(R→S))
  • (T→V)(C&E))
  • ((A∨R)(S&T))
  • ~(~(S∨T)&(M&N))
  • ((P&Q)S)
  • (((A∨R)→(S&T))((E&T)↔(O&K)))

§4. 有關WFF的術語

以下介紹一些有關WFF的術語:

  • 具有形式~φ的WFF稱作「否定句」(negation)。
    (例:"~P111", "~(Q∨R)", "~(~(S∨T)&(M&N)))")
  • 具有形式 (φ&ψ) 的WFF稱作「合取句」 (conjunction)。φ 及 ψ 稱作「(φ & ψ)的合取 (conjuncts)」。
    (例:"(A123&B112)", "((R∨T)&(T↔S))", "((P&S)&(Q&R))")
  • 具有形式 (φ∨ψ) 的WFF稱作「分/析取句」 (disjunction)。φ 及 ψ 稱作(φ∨ψ)的「分/析取」 (disjuncts)。
    (例:"(~P∨Q)", "(((P∨R)&S)∨T)", "((P→Q)∨(R→S))")
  • 具有形式(φ→ψ) 的WFF稱作「條件句」 (conditional)。φ 稱作「(φ→ψ) 的前件」 (antecedent),ψ 稱作「(φ→ψ)的後件 (consequent)」。
    (例:"((P&Q)→S)", "((A∨R)→(S&T))", "((E&T)→(O&K))")
  • 具有形式 (φ↔ψ)的WFF稱作「雙條件句」(biconditional)。
    (例:"(P↔R)", "(T→V)↔(C&E))", "(((A∨R)→(S&T))↔((E&T)→(O&K)))")