[H34] 語句邏輯 - 邏輯狀態

§1. 邏輯狀態

真值表提供的訊息可讓我們得知任一WFF的邏輯狀態 (logical status)。邏輯狀態通常被區分為三類:

1. 恆真句 (tautology)

當一個WFF在其包含的語句字母的所有真值賦與下都為真,我們便稱它為「恆真句」。下面是一些例子:

P (P→P)
T T
F T
P Q ((P&Q)→(P∨Q))
T T T
T F T
F T T
F F T

2. 不一致句 (inconsistent/contradictory sentence)

當一個完構式在其包含的語句字母的所有真值賦與下都為假,我們便稱它為「不一致句」。例如:

P (P&~P)
T F
F F
P Q ((P&~P)∨(Q&~Q))
T T F
T F F
F T F
F F F

如果一個WFF不是不一致的,則它便是一致的。

3. 適然句 (contingent sentence)

適然句即既非不一致又非恆真的WFF。換言之,若一WFF為適然句,那至少有一個真值賦與可令其真,也至少有一個真值賦與可令其假。例如,所有語句字母都屬適然句。某些複合句如 "(P&Q)","(P∨Q)" 亦如是。

§2. 一致性

真值表除可用來分析個別WFF的性質外,也可用來分析WFF之間的邏輯關係。在5.1,我們只談及個別WFF的一致及不一致性。實際上,一致性這概念也可應用在由一個或以上WFF構 的集合。一個WFF集為一致的 (consistent)當且僅當(忘了這連詞的意思?參看3.2.5) 至少有一個真值賦與可令集合內的所有WFF同時為真。一個WFF集為不一致的 (inconsistent) 當且僅當它並不是一致的——沒有任何真值賦與可令集內的每一WFF同時為真。

§3. 涵衍性

涵衍性」(entailment) 可如下界定:

假設有一個或以上WFF ψ1…ψn 構成的集合,ψ1…ψn 涵衍 φ(又可稱作「φ 是由 ψ1…ψn 推衍出來的」、「φ 是 ψ1…ψn 的邏輯歸結」或「ψ1…ψn 涵蘊 φ」),當且僅當沒有任何真值賦與可令 ψ1…ψn 真而 φ 假。
涵衍性與不涵衍性可分別如下符示:
涵衍:ψ1…ψn ⊧ φ               不涵衍:ψ1…ψn φ
讓我們以兩個例子說明涵衍性這概念。

例一:

~P 涵衍 ~~~P。這可由下面由 ~P 及 ~~~P 合 的真值表顯示:

P ~P ~~~P
T F F
F T T

根據 ~φ 的真值表,如果 'P' 為真,那 '~P' 便為假。'~~~P' 也同樣為假。如果P為假,那 '~P' 便為真。'~~~P' 也同樣為真。因此並無任何真值賦與可令 '~P' 真而 '~~~P' 假 (P只得真假兩值),故此 'P' 涵衍 '~~~P'。

例二:

~P,(P↔Q) 涵衍 ~Q。

P Q (P↔Q) ~P ~Q
T T T F F
T F F F T
F T F T F
F F T T T

從上面真值我們並未發現有對P及Q的真值賦與可令 '~P','(P↔Q)' 真而 '~Q' 假。因此 ~P,(P↔Q)共同涵衍 ~Q。

有兩點須留意。在行二中,~P 及 (P↔Q) 雖為假,這卻無損它們涵衍 ~Q (不明白此點的讀者須仔細思考涵衍性的定義)。此外,就判斷以上涵衍關系而言,上表的首三行是多餘的。涵衍性只要求沒有任何真值賦與可令 ψ1…ψn 真而 φ 假。因此我們只須留意 ψ1…ψn 為真的情況。故此在此例中我們只須查看最後一行便已足夠。

讀者也許已留意到,我們可以涵衍性定義論証的對確性。語句邏輯的對確論証 (簡稱SL對確論証) 可如下定義:

一個論証是SL對確論証當且僅當論證的前提涵衍其結論。

換言之,一個 SL對確論証的前提與結論間具有涵衍的關系——其前提涵衍其結論。

在邏輯的形式系統中,論證通常也被稱為「列式」(sequent)。因此SL對確論證(不對確論證)也可稱做「對確列式」(「不對確列式」)。

§4. 邏輯對等與連詞之相互定義性

兩語句若為邏輯對等 (logical equivalence),那在任何真值賦與下真值也相同。由此定義我們可進一步推知,由邏輯對等的WFF φ,ψ 構成的雙條件句必為恒真句。 「邏輯對等」也可籍涵衍性來定義:

φ 與 ψ 邏輯對等(「φ ≡ ψ」),當且僅當 φ ψ 以及 ψ φ 。

下面為一些例子:

  • P≡P
  • P≡~~P
  • ~(P&Q)≡(~P∨~Q)
  • ~(P∨Q)≡(~P&~Q)
  • (P↔Q)≡((P→Q)&(Q→P))

透過邏輯對等這概念,有些連詞可以其他連詞定義,例如:

  • (P→Q)≡(~P∨Q)
  • (P&Q)≡~(~P∨~Q)
  • (P∨Q)≡~(~P&~Q)
  • (P↔Q)≡((P→Q)&(Q→P))

§5. 恒真句,不一致句,與對確性

以上對涵衍性的定義會導出一些頗古怪的結論。首先,由此定義可推論出任何WFF也涵衍恒真句式。換言之,任何以恒真句式為結論的論証,無論其前提真假,也都是對確的。理由很簡單。SL對確論証的定義為沒有任何真值賦與可令它的前提全真而結論假。若某論証的結論為恒真句式,那無論在任何的真值賦與下該論証的結論也為真。這自然不可能出現令它前提真而結論假的真值賦與。因此以下論証也屬對確:

[前提] 布殊生性好戰。
[結論] 因此,布殊攻打依拉克或不攻打依拉克
[前提] 布殊並非生性好戰。
[結論] 因此,布殊攻打依拉克或不攻打依拉克

較以上更令某些人難以接受的是,這種對涵衍性的理解可導出不一致語句涵衍任何語句。由涵衍性與對確性的關系我們得知,任何論証前提若包括不一致語句,那無論其結論如何,它都為對確。下面論証的前提全都自相矛盾,因而屬對確:

[前提1] 上帝創造世界。
[前提2] 上帝並無創造世界。
[結論] 因此,世間充滿苦難。
[前提1] 上帝創造世界。
[前提2] 上帝並無創造世界。
[結論] 因此,世間並沒有充滿苦難。
[前提] 政康喜歡並且不喜歡他的女友。
[結論] 因此,豬懂爬樹。
[前提] 真神存在並且不存在。
[結論] 因此,你要相信耶和華。

得出這結論的理由也很簡單。SL對確論証的定義是在一切真值賦與中也不會出現前提真而結論假的組合。若論証的前提包含不一致句,則無論在何種真值賦與下這些前提都為假。因此根本無法令論証出現前提真但結論假的真值賦與。

有些人認為以上兩結論難以接受,因此提議修改或至拋棄以上對涵衍性的定義。另一些則嘗試証明這些結論的合理性。