[H35] 語句邏輯 - 形式化

§1. 何謂形式化?

前面已提到,構作邏輯系統的一個主要目的是要形式化自然語言語句。然而,何謂形式化 (formalization)?

粗略而言,所謂形式化,其實就是把自然語言中的句子翻譯成人工語言的程式。籍此程式,我們可得以清楚窺見句子的邏輯結構,從而可使我們應用邏輯方法(如真值表)去判斷由它們構成的論証的對確性。

邏輯系統有許多種。不同的邏輯系統採用的人工語言也不同。例如,謂詞邏輯除包括語句邏輯的語彙外,還包括謂詞 (predicates),個體常項 (individual constants),及量詞 (quantifiers)等語。因此同一個語句通常可以多於一種方式形式化。在本導修課中,形式化只指把自然語言翻譯為SL語言的程式。

§2. 形式化論証

讓我們以一些例子說明形式化。考慮下面論証:

論証一:
[前提] 荔枝是甜的而檸檬是酸的。
[結論] 荔枝是甜的。

論証二:
[前提1] 無論政康的父母願意或否,政康將會長大成人。
[前提2] 當政康長大成人後,他將會常與他的父母爭論。
[結論] 政康將會常與他的父母爭論。

要形式化論證,我們先要寫出一個翻譯架式 (translation scheme):把語句字母與論証中的陳述互相配對。例一與二的翻譯架式可分別如下寫出:

翻譯架式:
L:荔枝是甜的。
M:檸檬是酸的。

翻譯架式:
P:政康將會長大成人。
Q:政康將會和她的父母爭論。
論証中的陳述被翻譯作某個語句字母後。它們將被視為同義。例如 'L' 與「荔枝是甜」的同義;'P' 與「政康將會長大成人」同義。

使用這些翻譯架式。由於 '&' 及 '→' 通常分別被視為與「而」及「當…,…」對應,論証一及二將可分別被形式化如下:
論証一:
[前提] (L&M)
[結論] L

論証二:
[前提1] P
[前提2] (P→Q)
[結論] Q

也可以列式表達:

論証一:L&M L
論証二:P,(P→Q) Q
形式化論証時須留意以下數點:
  • 每個語句字母只能翻譯一個語句。換言之,兩個或以上不同的語句不能只用一個語句字母代表。例如,我們不能以 'P' 同時翻譯「小白小黑。」與「小白喜吃香蕉糕。」
  • 每個論証通常也可採用數種不同的翻譯架式。不同的翻譯架式將影響原來論証的論証形式 (logical forms)。下面各為採用不同架式所分別獲得的論証形式。

    P
    Q
    -----
    R
    (P→Q)
    R
    ---------
    Q
    (P→Q)
    R
    ---------
    S
    (P→Q)
    P
    ---------
    Q

    然而,形式化論証時我們必須盡可能揭示論証的邏輯結構以便使用邏輯方法判斷論証的對確性。以下原則可助達此目的:

    1. 相同的語句只能以相同的語句字母表示 (例如,我們不能同時以 'Q' 及 'S' 代表「政康將會和她的父母爭論。」)。
    2. 每個簡單句均需以不同語句字母代表 (例如,我們應分別以 'L' 和 'M' 代表「荔枝是甜的」和「檸檬是酸的」,而非以單一字母代表如 'L' 代表「荔枝是甜的而檸檬是酸的。」)。

    由這原則我們得知在以上的論証形式中只有最未一個最接近原來論証的形式。

  • 形式化為一種翻譯程序,因此有時也會如自然語言間之翻譯般在翻譯的過程中把原來語句的某些意含遺留。下面為論証二形式化後被省略的一些語辭:
  • 在前提一的翻譯中,語句「無論政康的父母願意或否。」並沒被譯出,因為略去這片語後的論証與原來的也大概相同 (至少並不影響其對確性)。

    在日常語言中,「但(是)」一詞有強調和對比的意味。然而在翻譯前提二時我們卻把它略去,因為,即使略去此詞也無損原來論証的對確性。

    在翻譯中我們並沒理會「政康長大成人後。」與「政康將會長大成人。」的時態之別 (語句邏輯裡並沒有表達時態的符號。)。理由在於不作此區別也不會影響我們對該論證對確性的判斷。然而,有時時態的分別在形式化中卻不能不予理會,例如:

    [前提1] 如果她三年後會和我結婚,她將會是我的第二個太太。
    [前提2] 她三年後會和我結婚。
    [結論] 她將會是我的第二個太太。
    這個論證是對確的,但若我們把它的結論改為「她是我的第二個太太。」,它就變成不對確。此外,以同一個語句字母翻譯「她將會是我的第二個太太。」和「她是我的第二個太太。」也是錯誤的(你現任的太太會令你明白)。

§3. 翻譯自然語言的連詞

前面我們說過SL連詞與日常連接如下對應。

SL連詞 日常連詞
~ 「並非?,「不是」
& 「與,「並且」
「或(者)/(是)」
「如果… 則…」
「當且僅當」

實際上,SL連詞還可用以翻譯許多的日常連詞。下面只列舉一些例子。

否定句
合取句
(φ&ψ)
分取句
(φ∨ψ)
條件句
(φ→ψ)
雙條件句
(φ↔ψ)
並不是φ φ 和 ψ。

φ 但 ψ。

雖然 φ,但/可是/然而 ψ。

φ,而且ψ。

φ,還有 ψ。
若不 φ/ψ,就 φ/ψ。

要不是 ψ/φ,就是φ/ψ。
φ 只當 ψ。

ψ 如果 φ。

假若 φ 則 ψ。

φ 對於 ψ 是充分的。

ψ 對於 φ是必要的。
φ 和 ψ 邏輯地對等。

φ/ψ 對於 ψ/φ 既是足夠的又是必要的。