[H36] 語句邏輯 - 完整真值表

§1. 例釋真值表法

在今課我們將學習如何以真值表判斷論証或列式的對確性。讓我們以列式 P, ~(P→Q) Q例釋這方法的各個程式。

步驟一:
在真值表的第一列(即最上一列),從第一欄(即最左一欄)起按次序填上語句字母,然後前提,最後結論:

P Q P ~(P→Q) Q

步驟二:
然後應用第四課介紹過的方法,寫下語句字母的所有真值賦與。由於這列式只有兩個語句字母,因此總計有四個不同的真值賦與:

P Q P ~(P→Q) Q
T T      
T F      
F T      
F F      

步驟三:
填入第一個前提在各真值賦與下之真值:

P Q P ~(P→Q) Q
T T T    
T F T    
F T F    
F F F    

步驟四:
填入第二個前提在各真值賦與下之真值【(在這個列式下)先填語句字母(「P」和「Q」),然後次連詞(「→」),最後主連詞(「~」)。】:

P Q P ~(P→Q) Q
T T T F T T T  
T F T T T F F  
F T F F F T T  
F F F F F T F  

步驟五:
填入結論在各真值賦與下之真值:

P Q P ~(P→Q) Q
T T T F T T T T
T F T T T F F F
F T F F F T T T
F F F F F T F F

步驟六:
現在我們清楚看到在不同真值賦與下前提與結論各自的真值。回顧一下SL對確論証的定義:某一論証是SL對確的當且僅當不存在前提真而結論假的真值賦與。因此,若在真值表的橫行發現出現前提真而結論假的組合,那麼受測試的論証便不對確;若發現在所有真值賦與下並沒出現前提真但結論假的組合,那麼我們便可判斷論証對確。在此例中只有一個真值賦與可使論証的前提全真 (見第二行),但在該真值賦與下論証的結論為假。由此我們知道 P, ~(P→Q) Q為不對確的論証或列式。

§2. 真值表法之性質

無論眼前論証如何複雜,原則上真值表法也能測試論証的對確性。換言之,真值表法為一區別對確與不對確論証的判定程序 (decision procedure)。非常粗略而言,判定程序即應用它的人,不須借助其創意或想像力,也保証能在有限步驟內做出正確答案的一種方法。這種方法或程序有時也稱作機械方法 (mechanical method) 或演算法 (algorithm)。

然而,當論証包含的語句字母數目極多時,繪制相對應的真值表將極為煩瑣乏味。想像一下要替包含8個語句字母的論証繪制真值表 (共256行) 也許已令你心生厭煩。

真值表法只是眾多判斷論証對確性的方法中之一種。其他方法包括真值樹狀法 (truth-tree method) 及範式法 (normal form method) 等。在不少方面,這些方法也較真值表法優勝。對邏輯有興趣的讀者不妨習之。