[H35] 語句邏輯 - 形式化


§1. 何謂形式化?

前面已提到,構作邏輯系統的一個主要目的是要形式化自然語言語句。然而,何謂形式化 (formalization)?

粗略而言,所謂形式化,其實就是把自然語言中的句子翻譯成人工語言的程式。籍此程式,我們可得以清楚窺見句子的邏輯結構,從而可使我們應用邏輯方法(如真值表)去判斷由它們構成的論証的對確性。

邏輯系統有許多種。不同的邏輯系統採用的人工語言也不同。例如,謂詞邏輯除包括語句邏輯的語彙外,還包括謂詞 (predicates),個體常項 (individual constants),及量詞 (quantifiers)等語。因此同一個語句通常可以多於一種方式形式化。在本導修課中,形式化只指把自然語言翻譯為SL語言的程式。

§2. 形式化論証

讓我們以一些例子說明形式化。考慮下面論証:

論証一:
[前提] 荔枝是甜的而檸檬是酸的。
[結論] 荔枝是甜的。

論証二:
[前提1] 無論政康的父母願意或否,政康將會長大成人。
[前提2] 當政康長大成人後,他將會常與他的父母爭論。
[結論] 政康將會常與他的父母爭論。

要形式化論證,我們先要寫出一個翻譯架式 (translation scheme):把語句字母與論証中的陳述互相配對。例一與二的翻譯架式可分別如下寫出:

翻譯架式:
L:荔枝是甜的。
M:檸檬是酸的。

翻譯架式:
P:政康將會長大成人。
Q:政康將會和她的父母爭論。
論証中的陳述被翻譯作某個語句字母後。它們將被視為同義。例如 'L' 與「荔枝是甜」的同義;'P' 與「政康將會長大成人」同義。

使用這些翻譯架式。由於 '&' 及 '→' 通常分別被視為與「而」及「當…,…」對應,論証一及二將可分別被形式化如下:
論証一:
[前提] (L&M)
[結論] L

論証二:
[前提1] P
[前提2] (P→Q)
[結論] Q

也可以列式表達:

論証一:L&M L
論証二:P,(P→Q) Q
形式化論証時須留意以下數點:

§3. 翻譯自然語言的連詞

前面我們說過SL連詞與日常連接如下對應。

SL連詞 日常連詞
~ 「並非?,「不是」
& 「與,「並且」
「或(者)/(是)」
「如果… 則…」
「當且僅當」

實際上,SL連詞還可用以翻譯許多的日常連詞。下面只列舉一些例子。

否定句
合取句
(φ&ψ)
分取句
(φ∨ψ)
條件句
(φ→ψ)
雙條件句
(φ↔ψ)
並不是φ φ 和 ψ。

φ 但 ψ。

雖然 φ,但/可是/然而 ψ。

φ,而且ψ。

φ,還有 ψ。
若不 φ/ψ,就 φ/ψ。

要不是 ψ/φ,就是φ/ψ。
φ 只當 ψ。

ψ 如果 φ。

假若 φ 則 ψ。

φ 對於 ψ 是充分的。

ψ 對於 φ是必要的。
φ 和 ψ 邏輯地對等。

φ/ψ 對於 ψ/φ 既是足夠的又是必要的。
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