[H36] 語句邏輯 - 完整真值表

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§1. 例釋真值表法

在今課我們將學習如何以真值表判斷論証或列式的對確性。讓我們以列式 P, ~(P→Q) ⊧ Q例釋這方法的各個程式。

步驟一：
在真值表的第一列（即最上一列），從第一欄（即最左一欄）起按次序填上語句字母，然後前提，最後結論：

P

Q

P

~(P→Q)

Q

步驟二：
然後應用第四課介紹過的方法，寫下語句字母的所有真值賦與。由於這列式只有兩個語句字母，因此總計有四個不同的真值賦與：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T
T	F
F	T
F	F

步驟三：
填入第一個前提在各真值賦與下之真值：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T
T	F	T
F	T	F
F	F	F

步驟四：
填入第二個前提在各真值賦與下之真值【（在這個列式下）先填語句字母（「P」和「Q」），然後次連詞（「→」），最後主連詞（「~」）。】：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T	F T T T
T	F	T	T T F F
F	T	F	F F T T
F	F	F	F F T F

步驟五：
填入結論在各真值賦與下之真值：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T	F T T T	T
T	F	T	T T F F	F
F	T	F	F F T T	T
F	F	F	F F T F	F

步驟六：
現在我們清楚看到在不同真值賦與下前提與結論各自的真值。回顧一下SL對確論証的定義：某一論証是SL對確的當且僅當不存在前提真而結論假的真值賦與。因此，若在真值表的橫行發現出現前提真而結論假的組合，那麼受測試的論証便不對確；若發現在所有真值賦與下並沒出現前提真但結論假的組合，那麼我們便可判斷論証對確。在此例中只有一個真值賦與可使論証的前提全真 (見第二行)，但在該真值賦與下論証的結論為假。由此我們知道 P, ~(P→Q) ⊧ Q為不對確的論証或列式。

§2. 真值表法之性質

無論眼前論証如何複雜，原則上真值表法也能測試論証的對確性。換言之，真值表法為一區別對確與不對確論証的判定程序 (decision procedure)。非常粗略而言，判定程序即應用它的人，不須借助其創意或想像力，也保証能在有限步驟內做出正確答案的一種方法。這種方法或程序有時也稱作機械方法 (mechanical method) 或演算法 (algorithm)。

然而，當論証包含的語句字母數目極多時，繪制相對應的真值表將極為煩瑣乏味。想像一下要替包含8個語句字母的論証繪制真值表 (共256行) 也許已令你心生厭煩。

真值表法只是眾多判斷論証對確性的方法中之一種。其他方法包括真值樹狀法 (truth-tree method) 及範式法 (normal form method) 等。在不少方面，這些方法也較真值表法優勝。對邏輯有興趣的讀者不妨習之。

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