圖表法常常有助我們清楚地表示資訊。范氏圖解法便是一明顯例子。透過此方法,我們可清楚表達集合的性質及其間之關系,從而判斷某些論証的對確性。范氏圖以其創建人范恩命名。范恩曾任劍橋大學教授。在邏輯學及機率論上有不少建樹。本導修課將簡介范氏圖解法的基本概念及其基本應用。
范氏圖可讓我們清楚表示集合或類的性質。簡單來說,一個集合或一個類就是一組事物。這些事物稱作該集合的份子或成員。例如,狗這個集合的成員就是所有個別的狗。
集合可被區分為有限集及無限集。所謂有限集,即只包含有限數目事物為其成員的集合。我桌上文具構成的集合,浸會大學1997年畢業生集合,以及SARS受害者集合均為有限集。無限集即包含無限數目事物為其成員的集合。自然數集,偶數集,及中文語句集皆屬無限集。
空集即沒有任何份子的集合。世上並無豬頭人身獸, 九腳狗, 漂亮的醜女,故而豬頭人身獸集, 九腳狗集, 漂亮的醜女集皆全為空集。
介紹過集合的概念後,現在讓我們看看如何以范氏圖標示集合的性質。范氏圖具有四個基本符號:
方塊與圓圈的作用在標示出區域。 每個區域代表某個由特定事物或個體構成的集合 。 方塊內的區域 (見下圖) 代表包含宇宙間一切事物的集合。你,我,我桌上的電腦,等等等等皆屬這個集合的成員。
在方塊內畫一個圓圈,我們便可標示出兩個不同的區域 。這兩個區域代表兩個不同的集合。假設圈內的區域代表人集(稱此集合為 'A'), 圈外的區域則代表非人集(稱此集合為 '~A')。世上所有人皆為A的成員,人以外的一切事物則屬 ~A的成員(見下圖)。
現在讓我們考慮包含一個圓圈以上的圖。先考慮包含兩個相交的圓圈。左邊的圓圈代表A集合,右邊的圓圈代表B集合。圖1清楚地標示出4個不同的區域:
讓我們看看各區域分別代表什麼集合:
假設A及B分別代表人集及男性集,那麼區域1至 4分別代表女人集 (歸屬於這區域的事物必需既為人又為非男性),男人集(歸屬於這區域的事物必需既為人又為男性),非人類的男性集(歸屬於這區域的事物必需既為人又為非男性),及非人類及非男性集合(歸屬於這區域的事物必需既非為人又為非男性)。
現考慮包含三個重疊相交的圓圈。我們看到下圖共分為八個區域,分別代表八個不同的集合 (A~B~C (1),AB~C (2),~AB~C (3),A~BC (4),ABC (5),~ABC (6),~A~BC (7),及~A~B~C (8))。
現在讓我們看看如何符示集合的性質。在圓圈的某個範圍塗陰影表示該範圍所代表的集合為空集。假設我們想表示集合~AB為空集, 我們將如下符示:
依同樣道理, 圖一及圖二中的陰影部份分別代表A~B及A B為空集。
圖一
圖二
在某區域畫剔號代表該區域所代表的集合為非空集。換句話說,該區域所代表的集合至少有一個成員。例如,若要表示~AB有份子,我們可如下圖表示:
依同樣道理, 圖三及圖四中的剔號分別代表A~B及A B為非空集:
圖三
圖四
若要表示AB 及~AB區域分別代表的集合也為非空集,我們只需同時在兩個區域畫剔號,如下圖:
要避免從范氏圖讀取錯誤通訊,我們必須緊記以下兩點: