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思方網 : [H17] 簡單語句邏輯

第一課 : 邏輯形式系統

1.1 邏輯形式系統概論

語句邏輯 (sentential logic) (又名「命題邏輯」 (propositional logic)) 是最簡單的邏輯形式系統 (formal system of logic) (以後簡稱「邏輯系統」)。學習邏輯者通常也以它為起點。其他較複雜的邏輯系統包括謂詞邏輯 (predicate logic)，模態邏輯 (modal logic)，及多值邏輯 (many-value logic) 等。

何謂邏輯系統？概略而言，我們可視邏輯系統為一組規則，這組規則告訴我們如何以某些特殊符號建構出 (合乎邏輯語法的)句子，及如何再從這些句子構造証明。構作邏輯系統必須清楚陳明三組規則：

1. 形式語言的語法規則
2. 形式語言的語意規則
3. 構造証明的規則

有些句子合乎文法，有些則否。例如，符號串「小丙最愛打架。」 與「哲學是一無聊的學科。」 均屬合乎中文文法的句子。「愛打架小強最」與「學科無聊的是一哲學」則不然。第一組規則教導我們如何從形式語言中的詞匯構造合乎邏輯語法的句子，並分辨合文法及不合文法的符號串。這組規則與自然語言如中文及英語的文法規則很相似。

第二組規則提供對句子的語意解釋。這組規則告訴我們形式語言中句子的意義，以及在何種情形下句子為真或為假。

最後一組規則教導我們怎樣構造邏輯証明。我們能從中得知從某些特定的初始假設可推導出什麼結論。

1.2. 為什麼研習邏輯系統？

乍看之下，邏輯系統似乎很複雜煩瑣。何解不少學者對構造及研習這些系統樂此不疲？理由至少有以下數個：

1. 中文，英語，及韓語等自然語言 (natural language) 為我們人類交流溝通必不可少之工具。然而，自然語言中的許多不精確處卻有礙構造及品評推論或論証。邏輯系統能使我們形式化 (formalize) 自然語言。粗略而言，我們可將形式化視為把自然語言中的句子與論証翻譯為邏輯形式語言中的符號的程序。透過此程序，自然語言的句子的邏輯結構將得以清楚揭示。這將大大有助我們判斷論証的對確性。
2. 邏輯系統的所有規則均被清楚界定及陳構，故而很容易被編寫成電腦程式。被殖入邏輯程式的電腦能迅速地構造與評價論証。
3. 語言學家可透過比較自然語言與形式語言間之異同而更瞭解自然語言的性質。
4. 形式語言有時有助哲學家更清晰明確地表達哲學概念及理論。
5. 研究邏輯系統的性質能助邏輯學家及數學家加深對集合論及數學基礎論的理解。

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第二課：語句邏輯的語法理論

2.1 語句邏輯的語彙

任何語言也由兩大部分構成：基本語彙 (basic vocabulary) (或詞彙)與語法(或文法)規則 (grammatical rules)。比方說，英語就由許多許多(但有限多)的基本詞彙及一組(同樣是有限多)的文法規則構成。我們可把基本語彙視作語言的基石，語法規則則教導我們如何從這些基石建構出較複雜的表達式(例如詞組與句子)。可以很合理地相信，學懂某種語言必須理解及掌握一套為數不少的語彙及文法規則。

要學懂一種自然語言大多數人也得需時數年 (成績往往強差人意)。幸而形式語言的語彙及文法規則 (有時也稱「語句的形成規則」(formation rules))甚為簡單，只需一會便能完全掌握。現在讓我們看看最簡單的形式語言——語句邏輯的語言(簡稱「SL」)。

語句邏輯的語言的基本詞彙(簡稱「SL詞彙」)有三大類，分別為：

1. 語句字母 (sentence letters)：語句符號被用作翻譯語句。由大寫英文字母，A，B，C，等表示 (語句字母的數目並無上限。我們可在字母右方添加小寫數字 (A₁，B₂₇，Z₁₁₁，等等)以增加其數目。)。
2. 五個邏輯連詞 (logical connectives)：
   ~ (否定句號)
   & (合取句號)
   ∨ (分取句/析取句號)
   → (條件句號)
   ↔ (雙條件句號)
3. 開括號及關括號 (open and closed brackets)：(  )

2.2 構作完構式

現在讓我們將「語句邏輯的表達式」(簡稱「SL 表達式」)界定為任何由一個或以上的SL詞彙構成的符號串。因此，下面的符號串皆為 SL 表達式：

• P
• ((P∨Q)&R)
• ((((PPR&→
• ((P→Q)&(R→S))
• P∨∨R)))))))))))))))→→V&QQ
• (((P↔Q)∨((R→S)&(S→T)))

並非任何 SL 表達式都合乎文法。合乎文法的SL表達式稱作「(SL的)完構式」((SL)Well-Formed Formulas簡稱「WFF」)。完構式可根據以下的文法規則建構：

1. 任何語句字母皆為完構式。
2. 若 φ 為一完構式，則 ~φ 也為一完構式。
3. 若 φ 與 ψ 皆為完構式，則(φ&ψ)，(φ∨ψ)，(φ→ψ)，及 (φ↔ψ)為完構式。
4. 只有經由規則1-3產生的表達式才為完構式。

規則1-4需略作解釋及補充：

• SL語言包括兩類語句連詞：一元連詞 (one-place connectives)及二元連詞 (two-place connectives)。兩者的功用也是透過連接某(些)特定的WFF而它(們)轉換為新的並且較長的WFF。不同之處只在前者只連接單個WFF；後者則連接兩個WFF。
• 不包含語句連詞的WFF稱作「簡單WFF」；包含語句連詞的WFF稱作「複合WFF」。
• 我們從規則1得知任何語句變項也是完構式。
• 當我們使用一種語言去談論另一種語言時，前一種語言稱作「後設語言」 (metalanguage)，後一種語言稱作「對象語言」 (object language)。比方說，我們正用中文來討論SL語言，在此討論中，中文屬後設語言，SL語言則屬對象語言。留意一點，'φ' 與 'ψ' 用以提及或指涉 SL 表達式。故此，它們屬後設語言而非屬SL語言的語彙。規則2告訴我們在任何WFF的左方加上 '~'，所得之符號串也是WFF。例如，由於 'P' 為一WFF (根據規則1)，在 'P' 左方加上 ~ 後所得之符號串也是WFF。規則3告訴我們若我們有兩個WFF，那麼，若我們把 '&'，'∨'，'→'，及 '↔' 置於這兩個 WFF中間，並在左右兩旁加上 '(' 及 ')'，那所得之符號串也是WFF。例如，'P' 及 'Q' 均為WFF(根據規則1)，"(P&Q)"，"(P∨Q)"，"(P→Q)"，及 "(P↔Q)" 也為WFF。
• 規則4說任何WFF必是根據規則1-3產生。換言之，若某SL表達式不是由規則1-3產生，那該表達式必不是WFF。

2.3 連詞之範圍

WFF中常出現多於一個連詞：

1. (~P∨Q)
2. (~(P∨Q)&~(~P→~Q))
3. ((~P∨Q)∨R)

然而，必需緊記，任何一個WFF只能有一個主連詞 (main connectives)。其餘的連詞為次連詞 (secondary connective)。

我們可以控制範圍這概念去區分主連詞與次連詞。

任何出現在某一WFF的連詞也有其各自不同的控制範圍。假設 σ 為一出現在WFF φ 的連詞，σ 的控制範圍為 φ 中包含 σ 的最短WFF。例如，在1中，'~' 的控制範圍是 'P'：在 "(~P∨Q)"中包含 '~' 的最短WFF是 "~P"。'∨' 的控制範圍是 "(~P∨Q)"："(~P∨Q)" 為包含 '∨' 的最短WFF。

一個「WFF 主連詞」 可被定義為在該WFF中控制範圍最廣的連詞。下面WFF的主連詞以深黑色顯示：

• (~P∨Q)
• (((P∨R)&S)∨T)
• ~P₁₁₁
• ~(Q∨R)
• (((P∨R)&S)∨T)
• ((P→Q)∨(R→S))
• (T→V)↔(C&E))
• ((A∨R)→(S&T))
• ~(~(S∨T)&(M&N))
• ((P&Q)→S)
• (((A∨R)→(S&T))↔((E&T)↔(O&K)))

2.4 有關WFF的術語

以下介紹一些有關WFF的術語：

• 具有形式~φ的WFF稱作「否定句」(negation)。
  (例："~P₁₁₁", "~(Q∨R)", "~(~(S∨T)&(M&N)))")
• 具有形式 (φ&ψ) 的WFF稱作「合取句」 (conjunction)。φ 及 ψ 稱作「(φ & ψ)的合取 (conjuncts)」。
  (例："(A₁₂₃&B₁₁₂)", "((R∨T)&(T↔S))", "((P&S)&(Q&R))")
• 具有形式 (φ∨ψ) 的WFF稱作「分/析取句」 (disjunction)。φ 及 ψ 稱作(φ∨ψ)的「分/析取」 (disjuncts)。
  (例："(~P∨Q)", "(((P∨R)&S)∨T)", "((P→Q)∨(R→S))")
• 具有形式(φ→ψ) 的WFF稱作「條件句」 (conditional)。φ 稱作「(φ→ψ) 的前件」 (antecedent)，ψ 稱作「(φ→ψ)的後件 (consequent)」。
  (例："((P&Q)→S)", "((A∨R)→(S&T))", "((E&T)→(O&K))")
• 具有形式 (φ↔ψ)的WFF稱作「雙條件句」(biconditional)。
  (例："(P↔R)", "(T→V)↔(C&E))", "(((A∨R)→(S&T))↔((E&T)→(O&K)))")

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第三課：基本真值表

3.1 SL語意論的基本概念

在前章，我們只集中在陳構SL的語法規則。 透過這些規則，我們得以辨別及構作SL的WFF。在討論SL的語法時，SL的連詞如 '∨'，'&' 及 WFF如 "~P∨Q" "(~(P∨Q)&(~(~P→~Q)))" 均只被視為無意義的符號或符號串。 在此課中我們將探討它們的語意而進入SL的語意理論 (semantics theory)。

讓我們先說明SL語意論的一些基本概念與假設。首先，我們需知道何謂句子或語句的真值 (truth-value)。許多句子有真假可言 (但顯然並非全部。祈使律令句如「給我拿杯水來。?,「不得在此抽煙。」, 及疑問句如「今天是否下雨？」「甚麼是人類學?」 就無所謂真假。)。真與假皆為某類稱作「陳述句」 的句子之性質。若某陳述句是真的，我們將說它具真值真；若某陳述句是假的，則說它具真值假。在此導修課中我們將以 'T' 與 'F' 來分別表示真假二值。一些邏輯書採用其他符示。如以 't' 與 'f'，或'0' 與 '1' 表示真假兩值。

在SL中，我們假設句子要不是真的就是假的。這假設稱作「二值原則」。留意一點，並非所有邏輯系統的語意論也依此假設。模糊邏輯與多值邏輯就為否棄這原則的兩個實例。

邏輯的一個主要目的是要提供一些系統的方法以判斷論証的對確性。真值表法 (truth-table method) 就為此方法之一種。原則上，任何SL的論証無論其何等複雜，應用此方法我們也能得知它是否為對確。

要理解真值表法，我們得先知道何謂語句連詞的基本真值表 (basic truth-table of sentential connectives)。

3.2 語句連詞的基本真值表

連詞的意義彰顯在其聯系語句的功用，要理解連詞的意義我們必須知道包含它們的複合句在何時為真，何時為假。SL連詞的基本真值表可被視作說明SL連詞意義的一種方式 。

1. '~' 與否定句

'~' 的基本真值表如下：

φ	~φ
T	F
F	T

這個真值表表達的訊息很簡單：假設我們有一WFF φ，若在 φ 的左方加上 '~'，那麼這個新的WFF(~φ) 的真值將與本來的WFF的真值相反。例如，在 'P' 的左方加上 '~'，我們獲得與其真值相反的語句 '~P' (稱這語句為的否定句)。把 '~' 加在 "((~P∨Q)∨R)" 的左方。我們將得出 "((~P∨Q)∨R)" 的否定句 "~((~P∨Q)∨R)"。

不難看出，'~' 的真值表顯示 '~' 與日常語言的連詞「並非」或「不是」相對應。我們在任一日常語句的適當位置添加「並非」或「不是」將可獲得其相矛盾(故而真值相反)的否定句。例如，在語句「小麗喜愛跳水。」的適當位置添加「並非」或「不是」，我們將獲得其否定句：

「小麗並非喜愛跳水。」
「小麗不(是)喜愛跳水。」

2. '&' 與合取句

'&' 的基本真值表如下：

φ	ψ	(φ&ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

假設我們有個兩語句，比方，「大華選修文學」與「細華選修經濟」 (讓我們以 'P' 代表前者， 'Q' 代表後者)。這兩語句合共有多少真假值組合？答案很明顯。任何句子要不是真就是假 (假定二值原則)，故此兩個語句合共有如下四個組合：

1. 'P' 真，'Q' 真。
2. 'P' 真，'Q' 假。
3. 'P' 假，'Q' 真。
4. 'P' 假，'Q' 假。

假設我們以 'P'，'Q' 構作一複合句 「P並且Q。」，在什麼情形下這句子為真或為假？很明顯，根據日常語言「並且」 的用法，只有當 'P' 及 'Q' 為真時 (上面第一種組合)，複合句「P並且Q。」才為真。只要 'P' 或 'Q' 其中一個為假，「P並且Q。」則為假。

從上述我們可以很容易看出，'&' 與「與/並且」的意義相同。'&' 的真值表告訴我們合取句的真值如何由其合取決定：第一行表示只有當合取句的兩個合取皆為真時，整個合取句才為真; 其餘各行表示在其他情況下合取句都為假。

3. '∨' 與析取句

'∨' 的基本真值表如下：

φ	ψ	(φ∨ψ)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

從 '∨' 的真值表我們得知析取句只有在其兩個析取皆為假時才假；在其餘情況下一律為真。

'∨' 通常被翻譯為「或(者)/(是)」。必須指出，'∨' 只意圖捕捉「或」 的相容性用法(析取句的兩個析取可以同真)。在日常方法中，「或」有時含排斥之意: 析取句的析取不能同時為真。 例如，劫匪問:「你要錢或是要命?」，明顯你也只能任擇其一——你總不能回應說:「我兩者也要！」

4. '→' 與條件句

'→' 的基本真值表如下：

φ	ψ	(φ→ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

'→' 一般被視作與「如果… 則…」 相應。較之把「與/並且? 譯為 '&'，及把「或」譯為 '∨'，這翻譯遭受最多反對之聲。反對者指出，'→' 的真值表首兩行雖符合「如果… 則…」 的日常用法，尾兩行卻似乎與其日常用法有違。假設你說:「如果你轟我一拳，我將還以一掌。」 按照「如果...則... 」 的日常用法，這句子只有在其前件後件也真時才真; 若只有前件真則為假 (有人給你一拳而你卻不以回報明顯否定你之前的說話。)。然而，若前件假，則似乎無論把它視為真或假也不大自然；看待這句話最恰當的方式看來應是——我們對它的真值無所知。

詳述 '→' 與日常條件句的關係需有待另文。很抱歉，為使我們的導修旅程得以繼續，在目前，你只能緊記以下原則：若某一條件句的前件為假，則無論其後件真值如何，該條件句也為真。

5. '↔' 與雙條件句

'↔' 的基本真值表如下：

φ	ψ	(φ↔ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

'↔' 似乎很難在中文中找到與其相對應的連詞。有見及此，邏輯家替 '↔' 起一些 (頗醜陋的) 名稱如「當且僅當」，「若且唯若」，「有而且只有」 (我們將採用第一個名稱。)。由上面真值表得知，雙條件句只有在其構成的語句真值相同時才真。例如，句子「大華在家當且僅當細華在家。」只有在以下兩個情況下為真：

「大華在家並且細華在家。」
「大華不在家並且細華不在家。」

敏銳的讀者可能已留意到任何雙條件句也能被視作由兩個條件句構成的合取句 (正因如此，雙條件句才如此得以命名)。例如，句子「大華在家當且僅當細華在家。」就與下面句子同義：

「如果大華在家則細華在家並且如果細華在家則大華在家。」

3.3 真值函項連詞

我們已簡要地介紹過SL的五個連詞 ('~'，'&'，'∨'，'→'，'↔')。由這些連詞構成的複合句之真值完全由其組成句之真值決定。因此，得知個別組成句的真值我們也能得知整個複句的真值。具有此性質的語句連詞稱作「真值函項連詞」 (truth-functional connectives)。

許多連詞也不屬此類別，「因為」這連詞就是一例。若知道「小明膽小如鼠。? 與「小明年幼曾因鼠咬而受驚。」 均為真, 我們便能得知由此兩句構成的合取句與分取句也為真。然而，僅僅知道這兩句的真值卻不足令我們得悉因果句「小明膽小如鼠因為小明年幼曾因鼠咬而受驚。」是否為真。要得知上句之真假也許需訴求心理學的理論。

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第四課 : 繪制真值表

前面已探討過SL連詞的基本真值表。在這課我們將學習如何繪制較複雜的真值表——完全/完整真值表 (full/complete truth-table)。

4.1 繪制真值表

每個真值表也包括四個(以逆時針標示的)的區域：

區域 2	區域 1
區域 3	區域 4

區域1至4分別代表四種不同的資訊。要構作完整的真值表，我們需依下列四個主要步驟填滿這些區域：

1. 在區域1記下你想繪制真值表的WFF。
2. 找出該WFF包含的語句字母(類型)，然後把它(們)寫進區域2。
3. 在區域3記下該WFF包含的字母類型的所有真值排列可能方式。
4. 在區域4填寫該WFF在不同的真值指派下的真值。

讓我們以 "((P→(P∨Q))" 例釋上面四個步驟。

步驟一：

在區域1記下你想繪制真值表的WFF。簡單得很，在這區域寫下"((P→(P∨Q))"便告完成:

區域 2	((P→(P∨Q))
區域 3	區域 4

步驟二：

找出要製作真值表的WFF的語句字母 (類型) (types)，然後把它(們)填入區域2。"((P→(P∨Q))" 這句式共有兩個語句字母 (類型) 'P' 及 'Q' (但留意，這式共有三個字母個例 (tokens)：兩個P與一個Q。)。

P    Q	(P→(P∨Q))
區域 3	區域 4

步驟三：

至此，我們已完成方箱的上區域。接下來是區域三。這區域記下出現在區域一的WFF包含的字母類型的所有真值排列可能方式。區域中的每一行分別記下一種特定的真值排列可能(我們稱每一排列可能為對該(些)語句字母的一種真值賦與 (truth-value interpretation))。"(P→(P∨Q))" 之真值表的區域三如下：

P    Q	(P→(P∨Q))
T    T   T    F   F    T   F    F	區域 4

語句字母的多少顯然會影響區域三內的行數。假設要構作真值表的WFF只有一個語句字母。基於二值原則，這字母只有真假兩值，因此區域三只有兩行。若WFF包含兩個字母 (如 "(P→(P∨Q))") 那它將共計有2²個真值排列方式。區域三便共有4行。依此類推，若WFF有3個語句字母，區域三共有8行。若有四個字母，區域三則有16行。

步驟四：

區域四顯示在不同的真值賦與下，目下構作真值表的WFF的真值為何。實際上，步驟四需細分為數個次步驟。

首先，把 'P'，'Q' 在區域3每行中的真值 ('P'，'Q' 的每一真值賦與) 複印到區域4的鄰行。如下所示：

P    Q	(P→(P∨Q))
T    T   T    F   F    T   F    F	T     T     T               T     T     F               F     F     T               F     F     F

緊記要賦值一致。換言之，你不能賦與相同的語句字母不同的真值。例如，下面的賦值就不一致。

P    Q	(P→(P∨Q))
T    T   T    F   F    T   F    F	T     F     T               T     F     F               F     T     T               F     T     F

接下來我們需應用基本真值表以計算由次連接詞構成的WFF之真值。"(P→(P∨Q))" 共有兩個連詞。'→' 為主連詞 (因 '→' 控制範圍最廣)，而 '∨' 為次連詞。在上句中，由次連詞構成的WFF只有 "(P∨Q)"。因此只需計算此句之真值：

P    Q	(P→(P∨Q))
T    T   T    F   F    T   F    F	T     T T T               T     T T F               F     F T T               F     F F F

最後一步是計算整個WFF在各真值委派下之真值：

P    Q	(P→(P∨Q))
T    T   T    F   F    T   F    F	T T T T T              T T T T F              F T F T T              F T F F F

完全真值表告訴我們某一WFF在什麼情況下為真，在什麼情況下為假。我們將在後面課堂看到，籍此訊息我們不僅可得知任一WFF的邏輯狀態，更可以此判斷SL論証對確與否。

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第五課 : 邏輯性質與邏輯關係

5.1 邏輯狀態

真值表提供的訊息可讓我們得知任一WFF的邏輯狀態 (logical status)。邏輯狀態通常被區分為三類：

1. 恆真句 (tautology)

當一個WFF在其包含的語句字母的所有真值賦與下都為真，我們便稱它為「恆真句」。下面是一些例子：

P (P→P) T T F T

P Q ((P&Q)→(P∨Q)) T T T T F T F T T F F T

2. 不一致句 (inconsistent/contradictory sentence)

當一個完構式在其包含的語句字母的所有真值賦與下都為假，我們便稱它為「不一致句」。例如：

P (P&~P) T F F F

P Q ((P&~P)∨(Q&~Q)) T T F T F F F T F F F F

如果一個WFF不是不一致的，則它便是一致的。

3. 適然句 (contingent sentence)

適然句即既非不一致又非恆真的WFF。換言之，若一WFF為適然句，那至少有一個真值賦與可令其真，也至少有一個真值賦與可令其假。例如，所有語句字母都屬適然句。某些複合句如 "(P&Q)","(P∨Q)" 亦如是。

5.2 一致性

真值表除可用來分析個別WFF的性質外，也可用來分析WFF之間的邏輯關係。在5.1，我們只談及個別WFF的一致及不一致性。實際上，一致性這概念也可應用在由一個或以上WFF構 的集合。一個WFF集為一致的 (consistent)當且僅當(忘了這連詞的意思？參看3.2.5) 至少有一個真值賦與可令集合內的所有WFF同時為真。一個WFF集為不一致的 (inconsistent) 當且僅當它並不是一致的——沒有任何真值賦與可令集內的每一WFF同時為真。

5.3 涵衍性

「涵衍性」(entailment) 可如下界定：

假設有一個或以上WFF ψ₁…ψ_n 構成的集合，ψ₁…ψ_n 涵衍 φ（又可稱作「φ 是由 ψ₁…ψ_n 推衍出來的」、「φ 是 ψ₁…ψ_n 的邏輯歸結」或「ψ₁…ψ_n 涵蘊 φ」），當且僅當沒有任何真值賦與可令 ψ₁…ψ_n 真而 φ 假。

涵衍性與不涵衍性可分別如下符示：

涵衍：ψ₁…ψ_n φ               不涵衍：ψ₁…ψ_n φ

讓我們以兩個例子說明涵衍性這概念。

例一：

~P 涵衍 ~~~P。這可由下面由 ~P 及 ~~~P 合 的真值表顯示：

P	~P	~~~P
T	F	F
F	T	T

根據 ~φ 的真值表，如果 'P' 為真，那 '~P' 便為假。'~~~P' 也同樣為假。如果P為假，那 '~P' 便為真。'~~~P' 也同樣為真。因此並無任何真值賦與可令 '~P' 真而 '~~~P' 假 (P只得真假兩值)，故此 'P' 涵衍 '~~~P'。

例二：

~P，(P↔Q) 涵衍 ~Q。

P	Q	(P↔Q)	~P	~Q
T	T	T	F	F
T	F	F	F	T
F	T	F	T	F
F	F	T	T	T

從上面真值我們並未發現有對P及Q的真值賦與可令 '~P'，'(P↔Q)' 真而 '~Q' 假。因此 ~P，(P↔Q)共同涵衍 ~Q。

有兩點須留意。在行二中，~P 及 (P↔Q) 雖為假，這卻無損它們涵衍 ~Q (不明白此點的讀者須仔細思考涵衍性的定義)。此外，就判斷以上涵衍關系而言，上表的首三行是多餘的。涵衍性只要求沒有任何真值賦與可令 ψ₁…ψ_n 真而 φ 假。因此我們只須留意 ψ₁…ψ_n 為真的情況。故此在此例中我們只須查看最後一行便已足夠。

讀者也許已留意到，我們可以涵衍性定義論証的對確性。語句邏輯的對確論証 (簡稱SL對確論証) 可如下定義：

一個論証是SL對確論証當且僅當論證的前提涵衍其結論。

換言之，一個 SL對確論証的前提與結論間具有涵衍的關系——其前提涵衍其結論。

在邏輯的形式系統中，論證通常也被稱為「列式」(sequent)。因此SL對確論證（不對確論證）也可稱做「對確列式」(「不對確列式」）。

5.4 邏輯對等與連詞之相互定義性

兩語句若為邏輯對等 (logical equivalence)，那在任何真值賦與下真值也相同。由此定義我們可進一步推知，由邏輯對等的WFF φ，ψ 構成的雙條件句必為恒真句。 「邏輯對等」也可籍涵衍性來定義：

φ 與 ψ 邏輯對等（「φ ≡ ψ」），當且僅當 φ ψ 以及 ψ φ 。

下面為一些例子:

• P≡P


• P≡~~P


• ~(P&Q)≡(~P∨~Q)


• ~(P∨Q)≡(~P&~Q)


• (P↔Q)≡((P→Q)&(Q→P))

透過邏輯對等這概念，有些連詞可以其他連詞定義，例如：

• (P→Q)≡(~P∨Q)


• (P&Q)≡~(~P∨~Q)


• (P∨Q)≡~(~P&~Q)


• (P↔Q)≡((P→Q)&(Q→P))

5.5 恒真句，不一致句，與對確性

以上對涵衍性的定義會導出一些頗古怪的結論。首先，由此定義可推論出任何WFF也涵衍恒真句式。換言之，任何以恒真句式為結論的論証，無論其前提真假，也都是對確的。理由很簡單。SL對確論証的定義為沒有任何真值賦與可令它的前提全真而結論假。若某論証的結論為恒真句式，那無論在任何的真值賦與下該論証的結論也為真。這自然不可能出現令它前提真而結論假的真值賦與。因此以下論証也屬對確：

[前提] 布殊生性好戰。 [結論] 因此，布殊攻打依拉克或不攻打依拉克。

[前提] 布殊並非生性好戰。 [結論] 因此，布殊攻打依拉克或不攻打依拉克。

較以上更令某些人難以接受的是，這種對涵衍性的理解可導出不一致語句涵衍任何語句。由涵衍性與對確性的關系我們得知，任何論証前提若包括不一致語句，那無論其結論如何，它都為對確。下面論証的前提全都自相矛盾，因而屬對確：

[前提1] 上帝創造世界。 [前提2] 上帝並無創造世界。 [結論] 因此，世間充滿苦難。

[前提1] 上帝創造世界。 [前提2] 上帝並無創造世界。 [結論] 因此，世間並沒有充滿苦難。

[前提] 政康喜歡並且不喜歡他的女友。 [結論] 因此，豬懂爬樹。

[前提] 真神存在並且不存在。 [結論] 因此，你要相信救耶和華。

得出這結論的理由也很簡單。SL對確論証的定義是在一切真值賦與中也不會出現前提真而結論假的組合。若論証的前提包含不一致句，則無論在何種真值賦與下這些前提都為假。因此根本無法令論証出現前提真但結論假的真值賦與。

有些人認為以上兩結論難以接受，因此提議修改或至拋棄以上對涵衍性的定義。另一些則嘗試証明這些結論的合理性。

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第六課 : 論証的形式化

6.1 何謂形式化?

前面已提到，構作邏輯系統的一個主要目的是要形式化自然語言語句。然而，何謂形式化 (formalization)?

粗略而言，所謂形式化，其實就是把自然語言中的句子翻譯成人工語言的程式。籍此程式，我們可得以清楚窺見句子的邏輯結構，從而可使我們應用邏輯方法(如真值表)去判斷由它們構成的論証的對確性。

邏輯系統有許多種。不同的邏輯系統採用的人工語言也不同。例如，謂詞邏輯除包括語句邏輯的語彙外，還包括謂詞 (predicates)，個體常項 (individual constants)，及量詞 (quantifiers)等語。因此同一個語句通常可以多於一種方式形式化。在本導修課中，形式化只指把自然語言翻譯為SL語言的程式。

6.2 形式化論証

讓我們以一些例子說明形式化。考慮下面論証：

論証一：
[前提] 荔枝是甜的而檸檬是酸的。
[結論] 荔枝是甜的。

論証二：
[前提1] 無論政康的父母願意或否，政康將會長大成人。
[前提2] 當政康長大成人後，他將會常與他的父母爭論。
[結論] 政康將會常與他的父母爭論。

要形式化論證，我們先要寫出一個翻譯架式 (translation scheme)：把語句字母與論証中的陳述互相配對。例一與二的翻譯架式可分別如下寫出：

翻譯架式：
L：荔枝是甜的。
M：檸檬是酸的。

翻譯架式：
P：政康將會長大成人。
Q：政康將會和她的父母爭論。

論証中的陳述被翻譯作某個語句字母後。它們將被視為同義。例如 'L' 與「荔枝是甜」的同義；'P' 與「政康將會長大成人」同義。

使用這些翻譯架式。由於 '&' 及 '→' 通常分別被視為與「而」及「當…，…」對應，論証一及二將可分別被形式化如下：

論証一：
[前提] (L&M)
[結論] L

論証二：
[前提1] P
[前提2] (P→Q)
[結論] Q

也可以列式表達：

論証一：L&M L
論証二：P,(P→Q) Q

形式化論証時須留意以下數點：

• 每個語句字母只能翻譯一個語句。換言之，兩個或以上不同的語句不能只用一個語句字母代表。例如，我們不能以 'P' 同時翻譯「小白愛小黑。」與「小白喜吃香蕉糕。」
• 每個論証通常也可採用數種不同的翻譯架式。不同的翻譯架式將影響原來論証的論証形式 (logical forms)。下面各為採用不同架式所分別獲得的論証形式。
  
  

  P Q ----- R

  (P→Q) R --------- Q

  (P→Q) R --------- S

  (P→Q) P --------- Q

  
  然而，形式化論証時我們必須盡可能揭示論証的邏輯結構以便使用邏輯方法判斷論証的對確性。以下原則可助達此目的：
  
  
  1. 相同的語句只能以相同的語句字母表示 (例如，我們不能同時以 'Q' 及 'S' 代表「政康將會和她的父母爭論。」)。
  2. 每個簡單句均需以不同語句字母代表 (例如，我們應分別以 'L' 和 'M' 代表「荔枝是甜的」和「檸檬是酸的」，而非以單一字母代表如 'L' 代表「荔枝是甜的而檸檬是酸的。」)。
  
  由這原則我們得知在以上的論証形式中只有最未一個最接近原來論証的形式。
• 形式化為一種翻譯程序，因此有時也會如自然語言間之翻譯般在翻譯的過程中把原來語句的某些意含遺留。下面為論証二形式化後被省略的一些語辭：
  
  在前提一的翻譯中，語句「無論政康的父母願意或否。」並沒被譯出，因為略去這片語後的論証與原來的也大概相同 (至少並不影響其對確性)。
  
  在日常語言中，「但(是)」一詞有強調和對比的意味。然而在翻譯前提二時我們卻把它略去，因為，即使略去此詞也無損原來論証的對確性。
  
  在翻譯中我們並沒理會「政康長大成人後。」與「政康將會長大成人。」的時態之別 (語句邏輯裡並沒有表達時態的符號。)。理由在於不作此區別也不會影響我們對該論證對確性的判斷。然而，有時時態的分別在形式化中卻不能不予理會，例如：

  [前提1] 如果她三年後會和我結婚，她將會是我的第二個太太。
  [前提2] 她三年後會和我結婚。
  [結論] 她將會是我的第二個太太。

  這個論證是對確的，但若我們把它的結論改為「她是我的第二個太太。」，它就變成不對確。此外，以同一個語句字母翻譯「她將會是我的第二個太太。」和「她是我的第二個太太。」也是錯誤的（你現任的太太會令你明白）。

6.3 翻譯自然語言的連詞

前面我們說過SL連詞與日常連接如下對應。

SL連詞	日常連詞
~	「並非?，「不是」
&	「與，「並且」
∨	「或(者)/(是)」
→	「如果… 則…」
↔	「當且僅當」

實際上，SL連詞還可用以翻譯許多的日常連詞。下面只列舉一些例子。

否定句 ~φ	合取句 (φ&ψ)	分取句 (φ∨ψ)	條件句 (φ→ψ)	雙條件句 (φ↔ψ)
並不是φ	φ 和 ψ。 φ 但 ψ。 雖然 φ，但/可是/然而 ψ。 φ，而且ψ。 φ，還有 ψ。	若不 φ/ψ，就 φ/ψ。 要不是 ψ/φ，就是φ/ψ。	φ 只當 ψ。 ψ 如果 φ。 假若 φ 則 ψ。 φ 對於 ψ 是充分的。 ψ 對於 φ是必要的。	φ 和 ψ 邏輯地對等。 φ/ψ 對於 ψ/φ 既是足夠的又是必要的。

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第七課 : 完整真值表方法

7.1 例釋真值表法

在今課我們將學習如何以真值表判斷論証或列式的對確性。讓我們以列式 P, ~(P→Q) Q例釋這方法的各個程式。

步驟一：
在真值表的第一列（即最上一列），從第一欄（即最左一欄）起按次序填上語句字母，然後前提，最後結論：

P

Q

P

~(P→Q)

Q

步驟二：
然後應用第四課介紹過的方法，寫下語句字母的所有真值賦與。由於這列式只有兩個語句字母，因此總計有四個不同的真值賦與：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T
T	F
F	T
F	F

步驟三：
填入第一個前提在各真值賦與下之真值：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T
T	F	T
F	T	F
F	F	F

步驟四：
填入第二個前提在各真值賦與下之真值【（在這個列式下）先填語句字母（「P」和「Q」），然後次連詞（「→」），最後主連詞（「~」）。】：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T	F T T T
T	F	T	T T F F
F	T	F	F F T T
F	F	F	F F T F

步驟五：
填入結論在各真值賦與下之真值：

P	Q	P	~(P→Q)	Q
T	T	T	F T T T	T
T	F	T	T T F F	F
F	T	F	F F T T	T
F	F	F	F F T F	F

步驟六：
現在我們清楚看到在不同真值賦與下前提與結論各自的真值。回顧一下SL對確論証的定義：某一論証是SL對確的當且僅當不存在前提真而結論假的真值賦與。因此，若在真值表的橫行發現出現前提真而結論假的組合，那麼受測試的論証便不對確；若發現在所有真值賦與下並沒出現前提真但結論假的組合，那麼我們便可判斷論証對確。在此例中只有一個真值賦與可使論証的前提全真 (見第二行)，但在該真值賦與下論証的結論為假。由此我們知道 P, ~(P→Q) Q為不對確的論証或列式。

7.2 真值表法之性質

無論眼前論証如何複雜，原則上真值表法也能測試論証的對確性。換言之，真值表法為一區別對確與不對確論証的判定程序 (decision procedure)。非常粗略而言，判定程序即應用它的人，不須借助其創意或想像力，也保証能在有限步驟內做出正確答案的一種方法。這種方法或程序有時也稱作機械方法 (mechanical method) 或演算法 (algorithm)。

然而，當論証包含的語句字母數目極多時，繪制相對應的真值表將極為煩瑣乏味。想像一下要替包含8個語句字母的論証繪制真值表 (共256行) 也許已令你心生厭煩。

真值表法只是眾多判斷論証對確性的方法中之一種。其他方法包括真值樹狀法 (truth-tree method) 及範式法 (normal form method) 等。在不少方面，這些方法也較真值表法優勝。對邏輯有興趣的讀者不妨習之。



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