[H31] 邏輯形式系統

§1. 邏輯形式系統概論

語句邏輯 (sentential logic) (又名「命題邏輯」 (propositional logic)) 是最簡單的邏輯形式系統 (formal system of logic) (以後簡稱「邏輯系統」)。學習邏輯者通常也以它為起點。其他較複雜的邏輯系統包括謂詞邏輯 (predicate logic),模態邏輯 (modal logic),及多值邏輯 (many-value logic) 等。

何謂邏輯系統?概略而言,我們可視邏輯系統為一組規則,這組規則告訴我們如何以某些特殊符號建構出 (合乎邏輯語法的)句子,及如何再從這些句子構造証明。構作邏輯系統必須清楚陳明三組規則:

  1. 形式語言的語法規則
  2. 形式語言的語意規則
  3. 構造証明的規則

有些句子合乎文法,有些則否。例如,符號串「小丙最愛打架。」 與「哲學是一無聊的學科。」 均屬合乎中文文法的句子。「愛打架小強最」與「學科無聊的是一哲學」則不然。第一組規則教導我們如何從形式語言中的詞匯構造合乎邏輯語法的句子,並分辨合文法及不合文法的符號串。這組規則與自然語言如中文及英語的文法規則很相似。

第二組規則提供對句子的語意解釋。這組規則告訴我們形式語言中句子的意義,以及在何種情形下句子為真或為假。

最後一組規則教導我們怎樣構造邏輯証明。我們能從中得知從某些特定的初始假設可推導出什麼結論。

§2. 為什麼研習邏輯系統

乍看之下,邏輯系統似乎很複雜煩瑣。何解不少學者對構造及研習這些系統樂此不疲?理由至少有以下數個:

  1. 中文,英語,及韓語等自然語言 (natural language) 為我們人類交流溝通必不可少之工具。然而,自然語言中的許多不精確處卻有礙構造及品評推論或論証。邏輯系統能使我們形式化 (formalize) 自然語言。粗略而言,我們可將形式化視為把自然語言中的句子與論証翻譯為邏輯形式語言中的符號的程序。透過此程序,自然語言的句子的邏輯結構將得以清楚揭示。這將大大有助我們判斷論証的對確性。
  2. 邏輯系統的所有規則均被清楚界定及陳構,故而很容易被編寫成電腦程式。被殖入邏輯程式的電腦能迅速地構造與評價論証。
  3. 語言學家可透過比較自然語言與形式語言間之異同而更瞭解自然語言的性質。
  4. 形式語言有時有助哲學家更清晰明確地表達哲學概念及理論。
  5. 研究邏輯系統的性質能助邏輯學家及數學家加深對集合論及數學基礎論的理解。