[H33] 語句邏輯 - 基本真值表

§1. 真假值

在前章,我們只集中在陳構SL的語法規則。 透過這些規則,我們得以辨別及構作SL的WFF。在討論SL的語法時,SL的連詞如 '∨','&' 及 WFF如 "~P∨Q" "(~(P∨Q)&(~(~P→~Q)))" 均只被視為無意義的符號或符號串。 在此課中我們將探討它們的語意而進入SL的語意理論 (semantics theory)。

讓我們先說明SL語意論的一些基本概念與假設。首先,我們需知道何謂句子或語句的真值 (truth-value)。許多句子有真假可言 (但顯然並非全部。祈使律令句如「給我拿杯水來。?,「不得在此抽煙。」, 及疑問句如「今天是否下雨?」「甚麼是人類學?」 就無所謂真假。)。真與假皆為某類稱作「陳述句」 的句子之性質。若某陳述句是真的,我們將說它具真值;若某陳述句是假的,則說它具真值。在此導修課中我們將以 'T' 與 'F' 來分別表示真假二值。一些邏輯書採用其他符示。如以 't' 與 'f',或'0' 與 '1' 表示真假兩值。

在SL中,我們假設句子要不是真的就是假的。這假設稱作「二值原則」。留意一點,並非所有邏輯系統的語意論也依此假設。模糊邏輯與多值邏輯就為否棄這原則的兩個實例。

邏輯的一個主要目的是要提供一些系統的方法以判斷論証的對確性。真值表法 (truth-table method) 就為此方法之一種。原則上,任何SL的論証無論其何等複雜,應用此方法我們也能得知它是否為對確。

要理解真值表法,我們得先知道何謂語句連詞的基本真值表 (basic truth-table of sentential connectives)。

§2. 語句連詞的基本真值表

連詞的意義彰顯在其聯系語句的功用,要理解連詞的意義我們必須知道包含它們的複合句在何時為真,何時為假。SL連詞的基本真值表可被視作說明SL連詞意義的一種方式 。

1. '~' 與否定句

'~' 的基本真值表如下:

φ
T F
F T

這個真值表表達的訊息很簡單:假設我們有一WFF φ,若在 φ 的左方加上 '~',那麼這個新的WFF(~φ) 的真值將與本來的WFF的真值相反。例如,在 'P' 的左方加上 '~',我們獲得與其真值相反的語句 '~P' (稱這語句為的否定句)。把 '~' 加在 "((~P∨Q)∨R)" 的左方。我們將得出 "((~P∨Q)∨R)" 的否定句 "~((~P∨Q)∨R)"。

不難看出,'~' 的真值表顯示 '~' 與日常語言的連詞「並非」或「不是」相對應。我們在任一日常語句的適當位置添加「並非」或「不是」將可獲得其相矛盾(故而真值相反)的否定句。例如,在語句「小麗喜愛跳水。」的適當位置添加「並非」或「不是」,我們將獲得其否定句:

小麗並非喜愛跳水。
小麗不(是)喜愛跳水。

2. '&' 與合取句

'&' 的基本真值表如下:

φ ψ (φ&ψ)
T T T
T F F
F T F
F F F

假設我們有個兩語句,比方,「大華選修文學」與「細華選修經濟」 (讓我們以 'P' 代表前者, 'Q' 代表後者)。這兩語句合共有多少真假值組合?答案很明顯。任何句子要不是真就是假 (假定二值原則),故此兩個語句合共有如下四個組合:

  1. 'P' 真,'Q' 真。
  2. 'P' 真,'Q' 假。
  3. 'P' 假,'Q' 真。
  4. 'P' 假,'Q' 假。

假設我們以 'P','Q' 構作一複合句 「P並且Q。」,在什麼情形下這句子為真或為假?很明顯,根據日常語言「並且」 的用法,只有當 'P' 及 'Q' 為真時 (上面第一種組合),複合句「P並且Q。」才為真。只要 'P' 或 'Q' 其中一個為假,「P並且Q。」則為假。

從上述我們可以很容易看出,'&' 與「與/並且」的意義相同。'&' 的真值表告訴我們合取句的真值如何由其合取決定:第一行表示只有當合取句的兩個合取皆為真時,整個合取句才為真; 其餘各行表示在其他情況下合取句都為假。

3. '∨' 與析取句

∨' 的基本真值表如下:

φ ψ (φ∨ψ)
T T T
T F T
F T T
F F F

從 '∨' 的真值表我們得知析取句只有在其兩個析取皆為假時才假;在其餘情況下一律為真。

'∨' 通常被翻譯為「或(者)/(是)」。必須指出,'∨' 只意圖捕捉「或」 的相容性用法(析取句的兩個析取可以同真)。在日常方法中,「或」有時含排斥之意: 析取句的析取不能同時為真。 例如,劫匪問:「你要錢或是要命?」,明顯你也只能任擇其一——你總不能回應說:「我兩者也要!」

4. '→' 與條件句

'→' 的基本真值表如下:

φ ψ (φ→ψ)
T T T
T F F
F T T
F F T

'→' 一般被視作與「如果… 則…」 相應。較之把「與/並且? 譯為 '&',及把「或」譯為 '∨',這翻譯遭受最多反對之聲。反對者指出,'→' 的真值表首兩行雖符合「如果… 則…」 的日常用法,尾兩行卻似乎與其日常用法有違。假設你說:「如果你轟我一拳,我將還以一掌。」 按照「如果...則... 」 的日常用法,這句子只有在其前件後件也真時才真; 若只有前件真則為假 (有人給你一拳而你卻不以回報明顯否定你之前的說話。)。然而,若前件假,則似乎無論把它視為真或假也不大自然;看待這句話最恰當的方式看來應是——我們對它的真值無所知。

詳述 '→' 與日常條件句的關係需有待另文。很抱歉,為使我們的導修旅程得以繼續,在目前,你只能緊記以下原則:若某一條件句的前件為假,則無論其後件真值如何,該條件句也為真。

5. '↔' 與雙條件句

'↔' 的基本真值表如下:

φ ψ (φ↔ψ)
T T T
T F F
F T F
F F T

'↔' 似乎很難在中文中找到與其相對應的連詞。有見及此,邏輯家替 '↔' 起一些 (頗醜陋的) 名稱如「當且僅當」,「若且唯若」,「有而且只有」 (我們將採用第一個名稱。)。由上面真值表得知,雙條件句只有在其構成的語句真值相同時才真。例如,句子「大華在家當且僅當細華在家。」只有在以下兩個情況下為真:

大華在家並且細華在家。
大華不在家並且細華不在家。

敏銳的讀者可能已留意到任何雙條件句也能被視作由兩個條件句構成的合取句 (正因如此,雙條件句才如此得以命名)。例如,句子「大華在家當且僅當細華在家。」就與下面句子同義:

如果大華在家則細華在家並且如果細華在家則大華在家。

§3. 真值函項連詞

我們已簡要地介紹過SL的五個連詞 ('~','&','∨','→','↔')。由這些連詞構成的複合句之真值完全由其組成句之真值決定。因此,得知個別組成句的真值我們也能得知整個複句的真值。具有此性質的語句連詞稱作「真值函項連詞」 (truth-functional connectives)。

許多連詞也不屬此類別,「因為」這連詞就是一例。若知道「小明膽小如鼠。? 與「小明年幼曾因鼠咬而受驚。」 均為真, 我們便能得知由此兩句構成的合取句與分取句也為真。然而,僅僅知道這兩句的真值卻不足令我們得悉因果句「小明膽小如鼠因為小明年幼曾因鼠咬而受驚。」是否為真。要得知上句之真假也許需訴求心理學的理論。

§4. 繪制真值表

前面已探討過SL連詞的基本真值表。在這課我們將學習如何繪制較複雜的真值表——完全/完整真值表 (full/complete truth-table)。

每個真值表也包括四個(以逆時針標示的)的區域:

區域 2         區域 1

 

區域 3

 

 

區域 4

 


區域1至4分別代表四種不同的資訊。要構作完整的真值表,我們需依下列四個主要步驟填滿這些區域:

  1. 在區域1記下你想繪制真值表的WFF。
  2. 找出該WFF包含的語句字母(類型),然後把它(們)寫進區域2。
  3. 在區域3記下該WFF包含的字母類型的所有真值排列可能方式。
  4. 在區域4填寫該WFF在不同的真值指派下的真值。

讓我們以 "((P→(P∨Q))" 例釋上面四個步驟。

步驟一:

在區域1記下你想繪制真值表的WFF。簡單得很,在這區域寫下"((P→(P∨Q))"便告完成:

區域 2       ((P→(P∨Q))      

 

區域 3

 

 

區域 4

 

步驟二:

找出要製作真值表的WFF的語句字母 (類型) (types),然後把它(們)填入區域2。"((P→(P∨Q))" 這句式共有兩個語句字母 (類型) 'P' 及 'Q' (但留意,這式共有三個字母個例 (tokens):兩個P與一個Q。)。

 P    Q        (P→(P∨Q))      

 

區域 3

 

 

區域 4

 

步驟三:

至此,我們已完成方箱的上區域。接下來是區域三。這區域記下出現在區域一的WFF包含的字母類型的所有真值排列可能方式。區域中的每一行分別記下一種特定的真值排列可能(我們稱每一排列可能為對該(些)語句字母的一種真值賦與 (truth-value interpretation))。"(P→(P∨Q))" 之真值表的區域三如下:

 P    Q        (P→(P∨Q))      
 T    T 
 T    F 
 F    T 
 F    F 
區域 4

語句字母的多少顯然會影響區域三內的行數。假設要構作真值表的WFF只有一個語句字母。基於二值原則,這字母只有真假兩值,因此區域三只有兩行。若WFF包含兩個字母 (如 "(P→(P∨Q))") 那它將共計有22個真值排列方式。區域三便共有4行。依此類推,若WFF有3個語句字母,區域三共有8行。若有四個字母,區域三則有16行。

步驟四:

區域四顯示在不同的真值賦與下,目下構作真值表的WFF的真值為何。實際上,步驟四需細分為數個次步驟。

首先,把 'P','Q' 在區域3每行中的真值 ('P','Q' 的每一真值賦與) 複印到區域4的鄰行。如下所示:

 P    Q        (P→(P∨Q))      
 T    T 
 T    F 
 F    T 
 F    F 
       T     T     T       
       T     T     F       
       F     F     T       
       F     F     F       

緊記要賦值一致。換言之,你不能賦與相同的語句字母不同的真值。例如,下面的賦值就不一致。

 P    Q        (P→(P∨Q))      
 T    T 
 T    F 
 F    T 
 F    F 
       T     F     T       
       T     F     F       
       F     T     T       
       F     T     F       

接下來我們需應用基本真值表以計算由次連接詞構成的WFF之真值。"(P→(P∨Q))" 共有兩個連詞。'→' 為主連詞 (因 '→' 控制範圍最廣),而 '∨' 為次連詞。在上句中,由次連詞構成的WFF只有 "(P∨Q)"。因此只需計算此句之真值:

 P    Q        (P→(P∨Q))      
 T    T 
 T    F 
 F    T 
 F    F 
       T     T T T       
       T     T T F       
       F     F T T       
       F     F F F       

最後一步是計算整個WFF在各真值委派下之真值:

 P    Q        (P→(P∨Q))      
 T    T 
 T    F 
 F    T 
 F    F 
      T T T T T       
      T T T T F       
      F T F T T       
      F T F F F       

完全真值表告訴我們某一WFF在什麼情況下為真,在什麼情況下為假。我們將在後面課堂看到,籍此訊息我們不僅可得知任一WFF的邏輯狀態,更可以此判斷SL論証對確與否。